[시계열] 일반 선형확률과정 MA(3)

일반 선형확률과정 모형(general linear process model)

• 정상확률과정stationary process
• 가우시안 백색 잡음의 선형 조합
  $Y_t = \epsilon_t + \psi \epsilon_{t-1} + \cdots$
• 과거의 영향력 $\psi_n$은 계속 작아짐: $\sum_{i=1}^{\infty} \psi^2 < \infty$

  1) MA 모형: 과거와 간접적 관련(by White noise)

• MA(q)모형: 백색잡음 현재부터, q시간 지연된 $\epsilon_{t-q}$까지 q+1개 항의 선형 가중합 $$Y_t = \epsilon_t + \theta_1 \epsilon_{t-1} + \theta_2 \epsilon_{t-2} + \cdots + \theta_q \epsilon_{t-q}$$

예) MA(1)

$Y_t = \theta(L) \epsilon_t$

$Y_t = \epsilon_t + \theta_1 \epsilon_{t-1}$

$Y_{t-1} = \epsilon_{t-1} + \theta_1 \epsilon_{t-2}$

• MA(1)모델
  • $Y_{t}, Y_{t-1}$은 $\epsilon_{t-1}$로 간접적연결되어있음
  • lag=1 $\rightarrow$ 이므로 $Y_t, Y_{t-1}$ 만 상관관계 존재
  • $E[Y_t]=0$
  • $Var[Y_t]=\sigma_{\epsilon}^2(1+\theta^2)$
  • $Cov[Y_t, Y_{t-1}]=\theta \sigma_{\epsilon}^2$
  • $\rightarrow$ Indepent of “t”: Stationary

# MA(1) 샘플링
import statsmodels.api as sm
np.random.seed(0)
theta = 0.9
ar = [1];ma = [1, theta]
p1 =  sm.tsa.ArmaProcess(ar, ma)
y1 = p1.generate_sample(100, burnin=10)


plt.plot(y1, 'o-')
plt.title("MA(1)")
plt.show()

# MA(1) 자기상관계수
# lag=1에서 상관계수 0.5
y_t_sample = y1[1:]
y_t_minus1_sample = y1[:-1]
r, p = sp.stats.pearsonr(y_t_sample, y_t_minus1_sample)

plt.figure(figsize=(5,10))
plt.subplot(311)
sns.scatterplot(y_t_sample, y_t_minus1_sample)
plt.xlabel("$Y_{t}$")
plt.ylabel("$Y_{t-1}$")
plt.title("MA(1); lag=1;\n(r={0:.3f}; p={1:.3f})".format(r, p))

# 이론적 ACF: lag=1, 2, ..., 11 case
plt.subplot(312)
plt.stem(p1.acf(11))
plt.title('theoretical ACF')
# 샘플의 ACF
ax = plt.subplot(313)
sm.graphics.tsa.plot_acf(y1, lags=10, ax=ax)

plt.tight_layout()
plt.show()