[시계열] 일반 선형확률과정 AR(4)

일반 선형확률과정 모형(general linear process model)

2) AR모형

• MA모형 사용시, lag이 증가해도 $acf \ne 0$인 상태가 너무 오래 지속되는 경우(즉, q가 너무 커짐)
• 현재 값이, 과거 자기 자신의 영향 직접 받음 + 먼 과거의 백색잡음 영향 지속
  • cf. MA모형: White noise를 통한 간접 관계

$$Y_t = -\phi_1 Y_{t-1} - \phi_2 Y_{t-2} - \cdots$$

• 단, 계수$\phi$의 제한 조건 존재(에 따라 다름)

예) AR(1)

$\phi(L)Y_t = \epsilon_t$

$Y_t = -\phi Y_{t-1} + \epsilon_t$

$Y_t = \epsilon_t - \phi \epsilon_{t-1} - \phi^2 \epsilon_{t-2} - \cdots$

• $-1<\phi<1$

  • cf. MA(1): $Y_t = \epsilon_t + \theta_1 \epsilon_{t-1}$
• $E[Y_t] = 0$
• $Var[Y_t] = \gamma_0 = \dfrac{\sigma_{\epsilon}^2}{1-\phi^2}$
• $\gamma_k = (- \phi)^k \dfrac{\sigma_{\epsilon^2}}{1-\phi^2}$ 즉, AR(1)모델에서, lag=k일 때 자기공분산함수
  • $\rightarrow$ MA와 달리 먼 과거의 백색잡음 영향 계속 남아있음
  • cf. MA(q)는 lag=k > q이면 무조건 0
• acf $\rho_k=\dfrac{\gamma_k}{\gamma_0}=(-\phi)^k \rightarrow \phi<0$ 그래프는 진동

# acf rho 예시
lag_k = np.arange(100)

plt.figure(figsize=(10,10))
plt.subplot(221)
phi = 0.9
acf = phi ** lag_k
plt.stem(acf)

plt.subplot(222)
phi = 0.2
acf = phi ** lag_k
plt.stem(acf)

plt.subplot(223)
phi = - 0.9
acf = phi ** lag_k
plt.stem(acf)

plt.subplot(224)
phi = - 0.2
acf = phi ** lag_k
plt.stem(acf)

plt.show()

# AR(1) 샘플링
import statsmodels.api as sm
np.random.seed(0)
phi = -0.9
ar = [1, -phi]; ma = [1]
p1 = sm.tsa.ArmaProcess(ar, ma)
y1 = p1.generate_sample(120)

plt.plot(y1, 'o-')
plt.title("AR(1)")
plt.show()

# AR(1) acf (phi: -0.9)
plt.subplot(211)
plt.stem(p1.acf(100))

ax = plt.subplot(212)
sm.graphics.tsa.plot_acf(y1, lags=100, ax=ax)

plt.tight_layout()
plt.show()

# AR(2) acf
# 자기상관 계수 0 나올 수 있음 -> 진동 중 부호 바뀌는 지점
phi1 = 0.9; phi2 = -0.6
ar=[1, -phi1, -phi2]; ma=[1]
p1 = sm.tsa.ArmaProcess(ar, ma)
y1 = p1.generate_sample(120)

plt.subplot(211)
plt.stem(p1.acf(100))

ax = plt.subplot(212)
sm.graphics.tsa.plot_acf(y1, lags=100, ax=ax)

plt.tight_layout()
plt.show()